【题目】已知函数.
(1)若任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)求证:对任意,
,都有
成立;
(3)对于给定的正数,有一个最大的正数
,使得整个区间
上,不等式
恒成立,求出
的解析式.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)由题意令,则
,可得
,即可求解实数
的取值范围;
(2)对任意,
,作差化简
,即可.
(3)由题意得,由不等式
恒成立得
且
,结合二次函数的图象,分类讨论,即可求解
的表达式.
试题解析:
(1)因为,
恒成立,令
,
,则
所以,解得
(2)对任意,
,
,
(3)对称轴
,
由不等式
恒成立得
且
因为,当
,即
时,则
,
在
为减函数.
由题意知: 由
且
,解得:
所以时,
当,即
时,则
总成立
由题意得: ,
在
为减函数,
在
为增函数,
又,则
,
由,
解得
,所以
时,
综上
点睛:本题考查了函数的综合应用,解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解,不等式的性质的应用,以及二次函数的图象与性质的应用,解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键,试题综合性强,属于中档试题.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(
),
为
上一点,以
为边作等边三角形
,且
、
、
三点按逆时针方向排列.
(Ⅰ)当点在
上运动时,求点
运动轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线:
,经过伸缩变换
得到曲线
,试判断点
的轨迹与曲线
是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,没有则说明理由.
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【题目】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取名市民,按年龄(单位:岁)进行统计和频数分布表和频率分布直线图如下:
分组(岁) | 频数 |
合计 |
(1)求频率分布表中、
的值,并补全频率分布直方图;
(2)在抽取的这名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取
人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这
人中随机选取
人各赠送精美礼品一份,设这
名市民中年龄在
内的人数
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数的图象经过点(1,3),并且g(x)=xf(x)是偶函数.
(1)求实数a、b的值;
(2)用定义证明:函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
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【题目】如图 1,在直角梯形中,
,且
.现以
为一边向形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使
平面与平面
垂直,
为
的中点,如图 2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD//BC,且BC⊥PB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点.
(I)求证:PE⊥CD;
(II)求PC与平面PDE所成角的正弦值.
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【题目】一个多面体的直观图,正(主)视图,侧(左)视图如下所示,其中正(主)视图、侧(左)视图为边长为a的正方形.
(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
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