Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在[m，m+3]（ m＞0）上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（I）根据对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．
（II）要求函数的最值，不管遇到什么特殊的函数，一定要按照求最值的方法按部就班的来解，首先求导，令导函数等于0，得到可能是极值点，根据极值点和区间两个端点之间的关系，得到结果．
（III）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，只要求函数G(x)=

x

ex

-

2

e

最大值进行比较即可．

解答：解：（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
也就是a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）恒成立．
令F(x)=lnx+x+

2

x

，
则F'(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=3，
所以a≤3．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=xlnx+x，f'（x）=lnx+2，
由f'（x）=0得x=

1

e2

．
①当0＜m＜

1

e2

时，
在x∈[m，

1

e2

)上上f'（x）＜0，
在x∈(

1

e2

，m+3]上上f'（x）＞0
因此，f（x）在x=

1

e2

处取得极小值，也是最小值.fmin(x)=-

1

e2

．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0
因此，f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
②当m≥

1

e2

时，f'（x）≥0，
因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，
所以f_min（x）=f（m）=m（lnm+1），f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
（Ⅲ）证明：问题等价于证明xlnx+x＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，当且仅当x=

1

e2

时取得，
设G(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则G'(x)=

1-x

ex

，易知Gmax(x)=G(1)=-

1

e

，
当且仅当x=1时取到，
但-

1

e2

＞-

1

e

，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值．