Question

已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a=-2时，f（x）在区间(

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，+∞)上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义f（x）=f（-x），求出a的值和函数解析式，进而求出最小值；
（2）先设x₁＜x₂ ，x_1、x₂∈(

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，+∞)，推出f（x₁）＞f（x₂），从而可以证明结论；
（3）首先由题意得出（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1-3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x），即：-2x²+（a+3）x+1-2a=-2x²-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
则f（x）=-2x²+7
∴对称轴为x=0
∴最小值f（3）=-11
（2）∵a=-2
∴f（x）=-2x²+x+5
设x₁＜x₂ ，x_1、x₂∈(

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，+∞)
f（x₁）-f（x₂）=-2x₁²+x₁+5+2x₂²-x₂-5=（x₂-x₁）[2（x₁+x₂）-1]
∵x₁＜x₂ ，∴x₂＞x₁
∵x_1、x₂∈(

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，+∞)∴2（x₁+x₂）＞1∴2（x₁+x₂）-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0 即f（x₁）＞f（x₂）
∴当a=-2时，f（x）在区间(

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，+∞)上为减函数．
（3）由题意得-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．
设h（x）=（a+2）x+1-3a，
①若a＞-2，该函数是增函数，只需f（-1）＞0即可，
则f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜-

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，所以-2＜a＜-

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；
②若a＜-2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，
则f（3）=7＞0，，所以a＜-2满足；
③若a=-2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=-2满足要求．
故a的取值范围是a＜-

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．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性等知识，综合性强，第三问是一次函数的斜率与单调性的关系，同时考查分类讨论的思想方法．