Question

15．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{1+g（x）}$是奇函数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据g（3）=a³=8，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；
（2）根据函数f（x）的单调性和奇偶性得到2t-3t²＜k-t²，即k＞-2t²+2t恒成立，设h（t）=-2t²+2t=-2${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，根据二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（1）设g（x）=a^x，（a＞0且a≠1），g（3）=a³=8，
故a=2，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$，
任取实数x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，考虑y=2^x在R递增，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，（1+${2}^{{x}_{2}}$）（1+${2}^{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R递减；
（2）要使f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，
即f（2t-3t²）＞-f（t²-k）成立，
即f（2t-3t²）＞f（k-t²）成立，
由（1）得：2t-3t²＜k-t²，即k＞-2t²+2t恒成立，
设h（t）=-2t²+2t=-2${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
h（t）_max=$\frac{1}{2}$，
故k＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．