Question

5．在风速为75（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北飞行，求没有风时飞机的航速与航向．

Answer 1

分析 可考虑用向量解决，可以作出向量$\overrightarrow{OA}$表示风速，$\overrightarrow{OB}$表示飞机的实际航速，根据向量加法的平行四边形法则便可作出向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速，这样根据余弦定理和正弦定理便可求出向量$\overrightarrow{OC}$的长度及∠BOC的大小，即求出没有风时飞机的航速和航向．

解答 解：如图，向量$\overrightarrow{OA}$表示风速，$\overrightarrow{OB}$表示飞机的航速，连接AB，过B作OA的平行线，过O作AB的平行线，两平行线交于C，则：

向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速；
在△OBC中，OB=150，BC=$75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，∠OBC=135°；
∴由余弦定理得，$O{C}^{2}=15{0}^{2}+[75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）]^{2}-2$$•150•75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=15{0}^{2}•2$；
∴$OC=150\sqrt{2}$；
根据正弦定理，$\frac{150\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{150}{sin∠BOC}$；
∴$sin∠BOC=\frac{1}{2}$；
∴∠BOC=30°；
∴没有风时飞机的航速为$150\sqrt{2}$km/h，航向为北偏西60°．

点评 考查向量法解决实际问题，以及余弦定理和正弦定理，已知三角函数值求角，向量加法的平行四边形法则．