Question

16．已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$，g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，$\frac{2}{3}$]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；
④若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．
其中所有正确结论的序号为①②④．

Answer 1

分析 根据已知，求出函数f（x）的值域可判断①；分析函数g（x）在[0，1]上的单调性，可判断②；判断方程f（x）=g（x）在区间[0，1]上解的个数，可判断③；分析出满足：?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立时实数a的取值范围，可判断④．

解答 解：当x≥1时，函数f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{-（x}^{2}-2x-3）}{{{（x}^{2}+3）}^{2}}$，
1≤x≤3时，f′（x）≥0，x≥3时，f′（x）≤0，故当x=3时，f（x）取极大值$\frac{2}{9}$，故此时f（x）∈[0，$\frac{2}{9}$]，
当x≤1时，函数f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{（x}^{2}+3）^{2}}$
-1≤x≤1时，f′（x）≤0，x≤-1时，f′（x）≥0，故当x=-1时，f（x）取极大值$\frac{2}{3}$，故此时f（x）∈[0，$\frac{2}{3}$]，
综上可得：函数f（x）的值域为[0，$\frac{2}{3}$]；故①正确；
当x∈[0，1]时，$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π∈[$\frac{3}{2}$π，$\frac{11π}{6}$]，此时函数g（x）为增函数，故②正确；
x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{（x}^{2}+3）^{2}}$＜0，故f（x）为减函数，
由f（0）=$\frac{4}{9}$，f（1）=0，可得f（x）∈[0，$\frac{4}{9}$]，
而g（0）=-3a+2，g（1）=$-\frac{5}{2}$a+2，故g（x）∈[-3a+2，$-\frac{5}{2}$a+2]，
当$-\frac{5}{2}$a+2≥0，即a≤$\frac{4}{5}$时，方程f（x）=g（x）有解，
当$-\frac{5}{2}$a+2＜0，即a＞$\frac{4}{5}$时，方程f（x）=g（x）无解，故③错误；
若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则$-\frac{5}{2}$a+2≥0，且-3a+2≤$\frac{2}{3}$；
解得：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．故④正确；
故答案为：①②④，
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，函数恒成立问题，方程的根，函数的单调性，难度中档．