Question

（2010•成都一模）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，n∈N^*．
（I）设b_n=log₃（a_n+2），证明数列{b_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a1=1，an+1=an2+4an+2可得an+1+2=(an+2)2，则log₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）即可证
（II）由（I）可得bn=2n-1，从而可求
（III）由a_n+1=a_n²+4a_n+2，可得a_n+1-2=a_n²+4a_n则cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

=

4

an-2

-(

1

an

-

1

4+an

)=

4

an-2

-

4

an(an+4)

=

4

an-2

-

4

an+1-2

，利用裂项求和

解答：证明：（I）由a1=1，an+1=an2+4an+2
得an+1+2=(an+2)2
∴log₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）（3分）
∵b_n=log₃（a_n+2），
∴b₁=1，b_n+1=2b_n（5分）
（II）由（I）可得bn=2n-1
即log3(an+2)=2n-1
∴an=32n-1-2（8分）
（III）∵a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1-2=a_n²+4a_n
∵cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

=

4

an-2

-(

1

an

-

1

4+an

)
=

4

an-2

-

4

an(an+4)

=

4

an-2

-

4

an+1-2

（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

4

a1-2

-

4

a2-1

+…+

4

an-2

-

4

an+1-2

（10分）
=

4

a1-2

-

4

an+1-2

=-4-

4

32n-4

（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意构造等比数列求解通项公式，利用裂项求和，属于数列知识的综合应用．