Question

已知,函数.

（1）当时，画出函数的大致图像；
（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；
（3）试讨论关于x的方程解的个数.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）当a=2时， ，作出图象；
（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；
（3）由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数.
试题解析：（1）如图所示
 3分
（2）单调递减区间： 4分
证明：设任意的 
 
  5分
因为，所以
于是，即6分
所以函数在上是单调递减函数               7分
(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数
又，注意到，
当且仅当时，上式等号成立，借助图像知                    8分
所以，当时，函数的图像与直线有1个交点； 9分
当，时，函数的图像与直线有2个交点；  10分
当，时，函数的图像与直线有3个交点；12分.