Question

13．求函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-6x+8）的值域、单调区间．

Answer 1

分析 根据真数部分可以为任意正数，可得函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-6x+8）的值域为R；求出函数的定义域，结合复合函数“同增异减”的原则，可得函数的单调区间．

解答 解：函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-6x+8）的定义域为（-∞，2）∪（3，+∞）
令t=x²-6x+8，则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，
由t可以为任意正数，故y∈R，
即函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-6x+8）的值域为R；
∵y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数
又t=x²-6x+8的单调递减区间是（-∞，2），单调递增区间是（3，+∞）
故函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-6x+8）的单调递增区间是（-∞，2），单调递减区间是（3，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，掌握复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键．