Question

将函数f（x）=lg（x²-x+1）写成一个偶函数与一个奇函数的和，其中奇函数为

1

2

lg

x2-x+1

x2+x+1

．

Answer 1

分析：先证明任一定义域关于原点对称的函数f（x）可写成一奇函数g（x）与一偶函数h（x）之和，其中g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，据此结论即可求得答案．

解答：解：设函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，h（x）=

f(x)+f(-x)

2

．
因为g（-x）=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-g（x），所以g（x）为奇函数；
因为h（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=h（x），所以h（x）为偶函数，
综上知，定义域关于原点对称的任一函数可写成一奇函数与一偶函数的和，且奇函数g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，
故所求奇函数为：

f(x)-f(-x)

2

=

lg(x2-x+1)-lg(x2+x+1)

2

=

1

2

lg

x2-x+1

x2+x+1

．
故答案为：

1

2

lg

x2-x+1

x2+x+1

．

点评：本题考查函数奇偶性的判定问题，考查学生分析问题解决问题的能力．