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已知球O的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上,且A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是
π
2
π
2
π
3
,则OB与平面ABC所成的角是(  )
分析:由题意,球的半径为1,根据A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是
π
2
π
2
π
3
,可得∠AOB=
π
2
,∠AOC=
π
2
,∠BOC=
π
2
π
3
,从而可求AB=AC=
2
,BC=1,可求VA-OBC=
1
3
×
3
4
×1=
3
12
,利用等体积法求出O到平面ABC的距离,即可求得结论.
解答:解:由题意,∵球O的表面积为4π,
∴球的半径为1,
∵A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是
π
2
π
2
π
3

∴∠AOB=
π
2
,∠AOC=
π
2
,∠BOC=
π
3
,∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1,∴AB=AC=
2
,BC=1.
VA-OBC=
1
3
×
3
4
×1=
3
12

设h为O到平面ABC的距离,则
∵S△ABC=
1
2
×1×
2-
1
4
=
7
4

VA-OBC=VO-ABC=
1
3
×
7
4
h=
3
12

∴h=
21
7

∴OA与平面ABC所成角的正弦值为
21
7

∴OB与平面ABC所成的角是arcsin
21
7

故选A.
点评:本题考查线面角,考查三棱锥的体积,解题的关键是利用等体积求出点到面的距离,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知球O的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上,且任意两点间的球面距离为
π
2
,则OA与平面ABC所成角的正切值是
2
2
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•甘肃一模)(理科)已知球O的表面积为4π,A,B,C三点都在球面上,且A与B、A与C的球面距离均为
π
2
|BC|=
3
,则球心O到平面ABC的距离为(  )

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科目:高中数学 来源:2012年甘肃省高考数学一模试卷(解析版) 题型:选择题

(理科)已知球O的表面积为4π,A,B,C三点都在球面上,且A与B、A与C的球面距离均为,则球心O到平面ABC的距离为( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中数学 来源:月考题 题型:单选题

已知球O的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上,且A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是,则OB与平面ABC所成的角是
[     ]
A.
B.
C.
D.

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