Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：；

（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）4．

【解析】

试题（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为得，由椭圆C过点得，即得，，则椭圆C的方程．（2）证明，一般从坐标表示出发：先设，则，又由B,P,M三点关系可得，从而，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2）

试题解析：（1）∵椭圆C： 的离心率为，

∴，则，又椭圆C过点，∴． 2分

∴，，

则椭圆C的方程． 4分

（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，

将代入椭圆C的方程中并化简得：

， 6分

解之得，，

∴，从而． ８分

令，得，∴，． 9分

又＝， 11分

∴，

∴． 13分

（3）=．

∴为定值4． 16分