Question

【题目】已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1， ∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，
∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，
令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2 ，
∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，
∴y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，
作出y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象，如图所示：

当a+1﹣e2≥2即a≥e2+1时，直线y=2ax与y=2e2x最多只有1个交点，不符合题意；
∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，
排除B，C，D．
故选A．
利用f（1）=0得出a，b的关系，根据f′（x）=0有两解可知y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．