Question

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，且AB=AD=1，BC=3，SB与平面ABCD所成的角为45°，E为SD的中点．
（Ⅰ）若F为线段BC上的一点且BF=BC，求证：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求点B到平面SDC的距离；
（Ⅲ）在线段 BC上是否存在一点G，使二面角G﹣SD﹣C的大小为arccos若存在，求出BG的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）   取SA的中点H，连接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE= 
∴HE∥BF，BF=HE，
∴四边形EFBH为平行四边形．
∴EF∥BH，BH平面SAB，EF平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
 
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD
∴∠SBA是AB与平面ABCD所成的角
∴∠SBA=45°，SA=AB=1                                     
 以A为原点，AB为x轴，图所示建立直角坐标系，
 
则B（1，0，0），S（0，0，1），D（0，1，0）C（1，3，0）
∴=（1，2，0）=（0．﹣1.1）=（0，3，0）
设=（x₁，y₁，z₁）是平SDC的法向量，则=0， =0 
∴
∴
取
B到平SDC的距离为d==
（Ⅲ） 假设存在，设BG=a，则G（1，a，0）（0＜a＜3）
∴
设=（x₂，y₂，z₂）是平面DGS的法向量，则=0，=0
∴
取
由=，得a²=2+（1﹣a）²
∴，
故线段 BC上存在一点G存在G点满足要求．且