Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=

3an+2

an+2

，n∈N^*，记b_n=

an-2

an+1

．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）记C_n=

3

an+1

，求证：C₁•C₂…C_n＞

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件先得an+1=

3an+2

an+2

，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．
（II） 由（Ⅰ）可知an=

1+2×4n

4n-1

，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得t≥

2+ 1 4n

4n-1

，从而可解；
（III）由题意可得C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)，欲证此结论，先证明：若x₁，x₂，…x_n为正数，则（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）成立．

解答：解：（Ⅰ）证明：由a_n+1=

3an+2

an+2

，n∈N^*得a_n+1-2=

3an+2

an+2

-2=

an-2

an+2

①a_n+1+1=

3an+2

an+2

+1=

4(an+1)

an+2

②
①÷②

an+1-2

an+1+1

 =

1

4

×

an-2

an+1

即b_n+1=

1

4

b_n，且b1=

1

4

∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=

1

4n

=

an-2

an+1

，∴an=

1+2×4n

4n-1

由a_n≤t•4ⁿ得t≥

2+ 1 4n

4n-1

易得

2+ 1 4n

4n-1

是关于n的减函数，∴

2+ 1 4n

4n-1

≤

3

4

，∴t≥

3

4

（8分）
（Ⅲ）由an=

1+2×4n

4n-1

得

3

an+1

=1-

1

4n

∴C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)（10分）
下面用数学归纳法证明不等式：
若x₁，x₂，…x_n为正数，则（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）（*）
1°当n=2时，∵x₁，x₂为正数，∴（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂＞1-（x₁+x₂）
2°假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即若x₁，x₂，…，x_k为正数，则
（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）＞1-（x₁+x₂…+x_k）
那么（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）（1-x_k+1）＞1-（x₁+x₂…+x_k+x_k+1）
这就是说当n=k+1时不等式成立．（12分）
根据不等式（*）得：C₁•C₂…C_n=(1-

1

4

)…(1-

1

4n

)＞1-(

1

4

+

1

42

…+

1

4n

)＞

2

3

∴C₁•C₂…C_n＞

2

3

．（14分）

点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查数学归纳法证明不等式，属于中档题．