Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，在上.

（1）若点是的中点，求证：平面；

（2）在线段上确定点的位置，使得二面角的余弦值为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）为线段的中点.

【解析】

（1）取的中点，连接，，易证平面，，取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形后，再证明即可得证；

（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标后，设即可得，再表示出平面的法向量后即可得方程 ，解方程即可得解.

（1）证明：取的中点，连接，，

由可得，，

又 ，平面，，

取的中点，连接，，

由点是的中点可知四边形为平行四边形，，

又 ≌，，即，

又 平面，平面，，

平面.

（2）由平面平面可得平面，

以点为原点，建立如图空间直角坐标系，设，

由已知得,

则可得，，，，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，令则，

设，由可得点，

从而，，

设平面的一个法向量为，

则令可得，

，解得.

故当为线段的中点时，二面角的余弦值为.