Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）若，求直线以及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根据的大小消去参数，求得直线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）方法1：写出直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，根据极坐标系下的弦长公式列方程由此求得直线的斜率.方法2：设出直线的直角坐标方程，联立直线的方程和曲线的直角坐标方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线斜率.

解：（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，

故其直角坐标方程为，

又，由

故；

（2）由题意，直线l的极坐标为，

设、对应的极径分别为，

将代入曲线的极坐标可得：

，

故，，

，

故，则，即，，

所以故直线的斜率是

法二：由题意，直线方程为，设、对应的点坐标为

联立直线与曲线的方程，消去得.

所以，故直线的斜率是.