Question

【题目】已知点在椭圆上，过点作轴于点

（1）求线段的中点的轨迹的方程

（2）设、两点在（1）中轨迹上，点，两直线与的斜率之积为，且（1）中轨迹上存在点满足，当面积最小时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设线段的中点为，得出点的坐标为，然后代入椭圆方程并化简后得出所求轨迹方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆联立，消去，并列出韦达定理，利用直线和的斜率之积得出，可得出，由知，于是得出直线的方程为，将该直线与椭圆方程联立并结合两点间的距离公式得出，最后利用三角形的面积公式以及基本不等式求出面积的最小值，利用基本不等式等号成立的条件求出的值，即可求出直线的方程。

（1）设线段的中点为，则，，

即；

（2）设直线，，，，，

联立，得．

，．

，

得到．

则为，解得，同理．

，

．

当，即时，有最小值为．

此时直线的方程为．