Question

【题目】

已知函数，且。

（I）试用含的代数式表示；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点。

Answer 1

【答案】（I）

（Ⅱ）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

（Ⅲ）证明见解析。

【解析】

试题（Ⅰ）从导数出发，利用即得与的关系式：（Ⅱ）求函数单调区间，关键研究导函数零点分布情况：因为导函数有两个零点：，，因此需分三种情况进行讨论，此时最容易遗漏相等的情况（Ⅲ）先根据极值求出、的坐标，再联立方程确定线段MN与曲线的交点，由易得，因此线段与曲线存在异于、的公共点

试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，由得…2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故，令，则或

①当时，，当变化时，的变化情况如下表

可得函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，，此时恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为；

③当时，，函数的单调增区间为和，单调减区间为

（Ⅲ）当时，，，。

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，

函数在处取得极值，故

直线的方程为

由得

令，易得

的图像在内是一条连续不断的曲线，

故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点