Question

【题目】已知函数f（x）=2cos（x+ ）[sin（x+ ）﹣ cos（x+ ）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0， ]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2cos（x+ ）[sin（x+ ）﹣ cos（x+ ）]

=2cos（x+ ）sin（x+ ）﹣2 cos2（x+ ）

=sin（2x+ ）﹣2

=sin（2x+ ）﹣ cos（2x+ ）﹣

=2sin[（2x+ ）﹣ ]﹣

=2sin（2x+ ）﹣ ，

∴函数f（x）的最小正周期为T= = =π；

又﹣1≤sin（2x+ ）≤1，

∴﹣2﹣ ≤2sin（2x+ ）﹣ ≤2﹣ ，

即f（x）的值域为[﹣2﹣ ，2﹣ ]；

（2）解：对任意x∈[0， ]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，

∴[2sin（2x+ ）﹣ + ]﹣2m=0，

即sin（2x+ ）=m；

由x∈[0， ]，得2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，

∴实数m的取值范围是m∈[ ，1]．

【解析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；（2）对任意x∈[0， ]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，等价于sin（2x+ ）=m；求出x∈[0， ]时sin（2x+ ）的值域即可．