Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，na_n+1=（n+1）a_n+2n（n+1）
（Ⅰ）证明：数列{}为等差数列，并求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设c_n=，求数列{c_n•3^n-1}的前项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵na_n+1=（n+1）a_n+2n（n+1）
∴=2
∴数列{}为等差数列
∵a₁=2，∴=2+（n-1）×2=2n
∴；
（Ⅱ）解：c_n==n，则c_n•3^n-1=n•3^n-1，
∴T_n=1×3⁰+2×3¹+…+n•3^n-1，
∴3T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，
两式相减可得：-2T_n=1×3⁰+1×3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=-n•3ⁿ，
∴T_n=+（）×3ⁿ
分析：（Ⅰ）由na_n+1=（n+1）a_n+2n（n+1）可得=2，从而可证数列{}为等差数列，由此可求数列的通项；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．