Question

（附加题）设x为实数，定义[x]为不小于x的最小整数，例如[π]=4，[-π]=-3．
（1）关于实数x的方程[3x+1]=2x-

1

2

的全部实根之和等于

-4

．
（2）方程x²-8[x]+7=0的所有解为

{1，

33

，

41

 ，7}

．

Answer 1

分析：（1）设2x-

1

2

=k∈Z，则x=

2k+1

4

，3x+1=k+1+

2k+3

4

，于是原方程等价于[

2k+3

4

]=-1，从而可得k=-5或-4，求出相应的x，就可得所有实根之和；
（2）根据x≥[x]=

x2+7

8

＞0，可得x²-8x+7≤0，即1≤x≤7，分[x]=1，2，3，4，5，6，7讨论，就可以得到方程x²-8[x]+7=0的所有解．

解答：解：（1）设2x-

1

2

=k∈Z，则x=

2k+1

4

，3x+1=k+1+

2k+3

4

，
于是原方程等价于[

2k+3

4

]=-1，即-2＜

2k+3

4

≤-1，
从而-

11

2

＜k≤-

7

2

，即k=-5或-4．
相应的x为-

9

4

，-

7

4

．于是所有实根之和为-4
（2）∵x≥[x]=

x2+7

8

＞0，∴x²-8x+7≤0，∴1≤x≤7
[x]=1，x²=1，∴x=1；
[x]=2，x²=9，x=3与[x]=2矛盾；
[x]=3，x²=17，[x]=4与[x]=3矛盾；
[x]=4，x²=25，x=5与[x]=4矛盾；
[x]=5，x²=33，[x]=5；
[x]=6，x²=41，[x]=6；
[x]=7，x²=49，x=7
综上知，方程x²-8[x]+7=0的所有解为{1，

33

，

41

 ，7}
故答案为：（1）-4；（2）{1，

33

，

41

 ，7}

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查转化能力，属于中档题．