Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，求证：直线AB过x轴上一定点．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；
（2）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．

解答 （1）解：因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），
所以$\frac{p}{2}$=1，所以p=2．
所以抛物线C的方程为y²=4x．
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），B（$\frac{{t}^{2}}{4}$，-t），
因为直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，所以$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{4}}•\frac{-t}{\frac{{t}^{2}}{4}}$=-$\frac{1}{3}$，化简得t²=48．
所以（12，t），B（12，-t），此时直线AB的方程为x=12．----------------（7分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
联立方程，化简得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根据韦达定理得到y_Ay_B=$\frac{4b}{k}$，
因为直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，所以得到x_Ax_B+3y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到$\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{B}}^{2}}{4}$+2y_Ay_B=0，
化简得到y_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-48．--------------------（12分）
又因为y_Ay_B=$\frac{4b}{k}$=-48，b=-12k，
所以y=kx-12k，即y=k（x-12）．
综上所述，直线AB过定点（12，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．