Question

8．如图，已知平面ABB₁N⊥平面BB₁C₁C，四边形BB₁C₁C，是矩形，ABB₁N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB₁，AB=BC=AN=4，BB₁=8．
（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）若M为AB中点，P是BC边上一点，且满足$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{3}$，求证：MP∥平面CNB₁；
（3）求多面体ABB₁NCC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取BB₁中点D，连结ND，推导出BN⊥B₁C₁，BN⊥B₁N，由此能证明BN⊥平面C₁B₁N．
（2）以B为原点，BA、BB₁、BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MP∥平面CNB₁．
（3）多面体ABB₁NCC₁的体积V=${V}_{C-ABN}+{V}_{N-B{B}_{1}{C}_{1}C}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取BB₁中点D，连结ND，
∵平面ABB₁N⊥平面BB₁C₁C，四边形BB₁C₁C，是矩形，
ABB₁N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB₁，AB=BC=AN=4，BB₁=8，
∴BC⊥平面ABB₁N，DN=AB=4，BN=B₁N=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴BN⊥B₁C₁，BN${\;}^{2}+{B}_{1}{N}^{2}$=BB₁²，∴BN⊥B₁N，
∵B₁C₁∩B₁N=B₁，∴BN⊥平面C₁B₁N．
解：（2）由（1）知AB、BB₁、BC两两垂直，
以B为原点，BA、BB₁、BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
M（2，0，0），P（0，0，1），C（0，0，4），
N（4，4，0），B₁（0，8，0），
$\overrightarrow{MP}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{CN}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，8，-4），
设平面CNB₁的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=8y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=-2+0+2=0，MP?平面CNB₁，
∴MP∥平面CNB₁．
（3）多面体ABB₁NCC₁的体积：
V=${V}_{C-ABN}+{V}_{N-B{B}_{1}{C}_{1}C}$
=$\frac{1}{3}×BC×{S}_{△ABN}$+$\frac{1}{3}×AB×{S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$
=$\frac{1}{3}×4×（\frac{1}{2}×4×4）$+$\frac{1}{3}×4×4×8$
=$\frac{160}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解时要认真审题，注意向量法的合理运用．