Question

16．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点P$（{1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过F的直线l与椭圆Γ相交于C、D两点．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）记△ABC，△ABD的面积分别为S₁，S₂，求S₁-S₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点P$（{1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆上，且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合隐含条件列式求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）当l的斜率不存在时，求出C，D的坐标，此时S₁-S₂=0；当l的斜率存在时，设l：y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系把|S₁-S₂|转化为含有k的函数，利用基本不等式求最值，最后可得S₁-S₂的取值范围．

解答 解：（1）由已知得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，①
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，②
联立①、②解出a²=4，b²=1，
∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；  
（2）当l的斜率不存在时，C（$-\sqrt{3}，-\frac{1}{2}$），D（$-\sqrt{3}，\frac{1}{2}$），此时S₁-S₂=0；
当l的斜率存在时，设l：y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}+8\sqrt{3}{k}^{2}x+（12{k}^{2}-4）=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∴|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₁+x₂）+$2\sqrt{3}k$|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{4{k}^{2}+1}$，由于k≠0，
∴|S₁-S₂|=$\frac{4\sqrt{3}}{4|k|+\frac{1}{|k|}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{4|k|•\frac{1}{|k|}}}=\sqrt{3}$，当且仅当4|k|=$\frac{1}{|k|}$时，即k=$±\frac{1}{2}$时，
|S₁-S₂|=$\sqrt{3}$，
∴S₁-S₂∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．