Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x²+y²=2
（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（2）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点N，若直线MP，NP分别交x轴于点（m，0）（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程．
（2）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（x₁，-y₁），${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=2，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值2

解答 解：（1）设直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（a＞0，b＞0）$，
即bx+ay-ab=0，
由直线l与圆O相切，得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
DE²=a²+b²=2（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$）≥8，
当且仅当a=b=2时取等号，
此时直线l的方程为x+y-2=0，
所以当DE长最小时，直线l的方程为x+y-2=0．
（3）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
则N（x₁，-y₁），${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=2，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2，
直线MP与x轴交点（$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，0），m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
直线NP与x轴交点（$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，0），n=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
mn=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$×$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{（2-{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{2}}^{2}-（2-{{y}_{2}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=2．
∴mn为定值2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题