Question

6．已知点H在圆D：（x-2）²+（y+3）²=32上运动，点P的坐标为（-6，3），线段PH的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）平面内是否存在定点A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常数），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；
（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求点M的轨迹方程；
（2）求出λ²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4（1-x）}{4+{a}^{2}-（2a+4）x}$，可得结论；
（3）利用韦达定理及向量垂直的结论，即可求t的范围．

解答 解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y-3），
又H在圆上，得（2x+6-2）²+（2y-3+3）²=32，化简得（x+2）²+y²=8；
（2）设M的轨迹交y轴于E、F，由$\frac{|EO|}{|EA|}=\frac{|FO|}{|FA|}$且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，
所以A在x轴上，设M（x，y），
则λ²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4（1-x）}{4+{a}^{2}-（2a+4）x}$，
所以4+a²=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由直线y=kx与（x+2）²+y²=8，消去y得（1+k²）x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=x₁x₂=-$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
又 0=$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CN}$=（1+k²）x₁x₂-kt（x₁+x₂）+t²，
∴$\frac{4-{t}^{2}}{4t}$=$\frac{k}{1+{k}^{2}}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴t$∈[-\sqrt{5}-1，-\sqrt{5}+1]∪[\sqrt{5}-1，\sqrt{5}+1]$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．