Question

15．若直角坐标平面内两个不同点P、Q满足条件：①P、Q都在y=f（x）上；②P、Q关于原点对称．则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$，则此函数的友好点对有（　　）

• A． 0对
• B． 1对
• C． 2对
• D． 3对

Answer 1

分析 根据题意可知只须作出函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}$（x＞0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=-x²-4x（x≤0）交点个数即可．

解答 解：由题意得：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$，“友好点对”的对数，
等于函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=-x²-4x（x≤0）交点个数
在同一坐标系中做出函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}$（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=-x²-4x（x≤0）的图象如下图所示：

由图象可知，两个图象只有一个交点．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键．