Question

9．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长；
（2）求过点M（3，1）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C（1，2）到直线2x-y+4=0的距离，即可求直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长；
（2）分类讨论，利用圆心C（1，2）到直线kx-y-3k+1=0的距离等于r，即可求过点M（3，1）的圆C的切线方程．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-2）²=4的圆心为（1，2），半径长r=2，
（1）圆心C（1，2）到直线2x-y+4=0的距离为：$d=\frac{{|{2×1-2+4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，
所以直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长为：$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-{{（{\frac{4}{{\sqrt{5}}}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
（2）因为（3-1）²+（1-2）²=5＞4，所以点M在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方称为：y-1=k（x-3）
即kx-y-3k+1=0，
圆心C（1，2）到直线kx-y-3k+1=0的距离为：$d=\frac{{|{k-2-3k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$
由题意有：$d=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2=r$，所以$k=\frac{3}{4}$
此时切线方称为：$y-1=k=\frac{3}{4}（{x-3}）$，即3x-4y-5=0，
当切线斜率不存在时，直线x=3也与圆相切．
综上所述，所求切线方称为：3x-4y-5=0或x=3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．