Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，P（1，1）为椭圆内一点，F₁为椭圆的左焦点，M为椭圆上一动点：
（理）则|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|的最小值为$\frac{11}{2}$；
（文）则|MP|+|MF₁|的取值范围为（6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （理）由椭圆的第二定义，得d=$\frac{|MF|}{e}$，从而|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|=|MA|+|MP|，当M、P、A三点共线时，|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|取最小值，由此能求出结果．
（文）由椭圆定义得|PF₁|=2a-|PF₂|=6-|PF₂|，由||PA|-|PF₂||≤|AF₂|，由此能求出||MP|+|MF₁|的取值范围．

解答 解：（理）由椭圆的第二定义，得：$\frac{|MF|}{d}$=e，
∴d=$\frac{|MF|}{e}$，
由椭圆的方程$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，得e=$\frac{2}{3}$，
右准线方程为：x=$\frac{9}{2}$，
|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|=|MA|+|MP|，
∴当M、P、A三点共线时，
|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|取最小值，最小值为：1+$\frac{9}{2}$=$\frac{11}{2}$．
故答案为：$\frac{11}{2}$．
（文）∵椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆定义得|PF₁|=2a-|PF₂|=6-|PF₂|，
由||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
知$\sqrt{2}≤|PA|-|P{F}_{2}|≤\sqrt{2}|$，
∴||MP|+|MF₁|的取值范围为$（6-\sqrt{2}，6+\sqrt{2}）$．
故答案为：（6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查线段和的最小值的求法，考查线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．