Question

3．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解关于x的不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．求出a，b的值，进而可得：函数f（x）的解析式；
（2）f（x）在（-1，1）上为增函数，
证法一：设-1＜x₁＜x₂＜1，作差可得f（x₁）＜f（x₂），根据函数单调性的定义，可得：f（x）在在（-1，1）上为增函数，
证法二：求导，根据当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在在（-1，1）上为增函数，
（3）根据函数的奇偶性和单调性，可将不等式f（2x-1）+f（x）＜0化为-1＜2x-1＜-x＜1，解得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
又∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
∴b=0，a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（2）f（x）在（-1，1）上为增函数，理由如下：
证法一：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则1-x₁•x₂＞0，x₁-x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{1-{x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在在（-1，1）上为增函数，
证法二：∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在在（-1，1）上为增函数，
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，
∴f（2x-1）＜-f（x）=f（-x），
又f（x）在在（-1，1）上为递增的奇函数，
∴-1＜2x-1＜-x＜1，
∴0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式f（2x-1）+f（x）＜0的解集为（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数解析式的求法，难度中档．