Question

14．已知函数f（x）满足f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，存在互不相等的实数a，b使f（a）=f（b），则ab的取值范围为（1，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）在[$\frac{1}{3}$，3]上的解析式，根据f（a）=f（b）得出a，b的关系和b的范围，从而得出ab关于b的表达式，利用b的范围求出ab的范围．

解答 解：设x∈[$\frac{1}{3}$，1]，则$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
∴f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln\frac{1}{x}，\frac{1}{3}≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤3}\end{array}\right.$．
∴f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
且f（$\frac{1}{3}$）=2ln3，f（1）=0，f（3）=ln3，
∵在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，存在互不相等的实数a，b使f（a）=f（b），不妨设a＜b，
则1＜b≤3，2ln$\frac{1}{a}$=lnb，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$=b，即a=$\sqrt{\frac{1}{b}}$，
∴ab=$\sqrt{\frac{1}{b}}$•b=$\sqrt{b}$，
∴ab的取值范围是（1，$\sqrt{3}$]．
故答案为：$（1，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，函数单调性的判断，函数值域的计算，属于中档题．