Question

4．（1）求函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$的值域
（2）求函数f（x）=x²+4x-1的值域
（3）求函数f（x）=x+$\sqrt{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用反比例性质求解值域即可．
（2）根据二次函数的性质求解值域即可．
（3）换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
∵x-1≠0，
∴f（x）≠0
故得函数函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）函数f（x）=x²+4x-1，
根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴x=-2．
当x=-2时，函数y取得最小值为-5；
故得函数f（x）=x²+4x-1的值域为[-5，+∞）．
（3）函数f（x）=x+$\sqrt{x+1}$，
设t=$\sqrt{x+1}$，（t≥0），则x=t²-1．
∴函数f（x）=x+$\sqrt{x+1}$转化为g（t）═t²-1+t，（t≥0）
根据二次函数的性质可知：函数g（t）开口向上，对称轴t=-$\frac{1}{2}$．
∵t≥0，
∴当x=0时，函数y取得最小值为-1；
故得函数g（t）═t²-1+t的值域为[-1，+∞），即函数f（x）=x+$\sqrt{x+1}$的值域为[-1，+∞）．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．