Question

19．已知命题p：关于x的函数y=log_a（x²-2ax+7a-6）的定义域为R；命题q：存在x∈R，使得关于x的不等式x²-ax+4＜0成立，若p或q为真命题，p且q为假命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p或q为真命题，p且q为假命题，则命题p命题q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 （本小题分14分）
解：命题p：关于x的函数y=log_a（x²-2ax+7a-6）的定义域为R，
则x²-2ax+7a-6＞0恒成立，
则△=4a²-4（7a-6）＜0，
解得：a∈（1，6）…（3分）
命题q：存在x∈R，使得关于x的不等式x²-ax+4＜0成立，
则△=a²-16＞0，
解得：a∈（-∞，-4）∪（4，+∞）…（6分）
∵p或q为真命题，p且q为假命题；
∴命题p命题q一真一假；…（8分）
当p真q假时，a∈（1，4]，…（10分）
当p假q真时，a∈（-∞，-4）∪[6，+∞）…（…（12分）
∴实数a的取值范围为（-∞，-4）∪（1，4]∪[6，+∞）…（14分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立等知识点，难度中档．