Question

记平面内与两定点A₁（-2，0），A₂（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A₁，A₂两点所构成的曲线为C
（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；
（Ⅱ）当m=-

3

4

时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l₁交曲线C于M．N两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l₂交x轴于点Q，且满足

MN

•

PQ

=0．试求

| PQ |

| MN |

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），由条件可得mx²-y²=4m（x≠±2），对m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三种情况讨论即可；
（Ⅱ）设出直线l₁的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定|MN|、|PQ|，即可求得结论．

解答：解：（I）设动点B（x，y）．
当x≠±2时，由条件可得kBA1•kBA2=

Y

X+2

•

Y

X-2

=

Y2

X2-Y2

=m
即mx²-y²=4m（x≠±2）．
又A₁（-2，0）、A₂（2，0）的坐标满足mx²-y²=4m．
当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=4，曲线C是圆心在原点上的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；
（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
依题意，直线l₁的方程为y=k（x-1）．
代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
由韦达定理得：x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴弦MN的中点为P（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

）
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

12(k2+1)

3+4k2

直线l₂的方程为y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
由y=0，可得x=

k2

3+4k2

，则Q（

k2

3+4k2

，0），
∴|PQ|=

3 k2(k2+1)

3+4k2

∴

|PQ|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=

1

4

1- 1 k2+1

∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

∴

| PQ |

| MN |

的取值范围为（0，

1

4

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强．