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记平面内与两定点A1(-2,0),A2(2,0)连线的斜率之积等于常数m(其中m<0)的动点B的轨迹,加上A1,A2两点所构成的曲线为C
(I)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m的值的关系;
(Ⅱ)当m=-
3
4
时,过点F(1,0)且斜率为k(k#0)的直线l1交曲线C于M.N两点,若弦MN的中点为P,过点P作直线l2交x轴于点Q,且满足
MN
PQ
=0
.试求
|
PQ
|
|
MN
|
的取值范围.
(I)设动点B(x,y).
当x≠±2时,由条件可得kBA1kBA2=
Y
X+2
Y
X-2
=
Y2
X2-Y2
=m
即mx2-y2=4m(x≠±2).
又A1(-2,0)、A2(2,0)的坐标满足mx2-y2=4m.
当m<-1时,曲线C的方程为
x2
4
+
y2
-4m
=1,曲线C是焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=4,曲线C是圆心在原点上的圆;
当-1<m<0时,曲线C的方程为
x2
4
+
y2
-4m
=1,曲线C是焦点在x轴上的椭圆;
(Ⅱ)由(I)知,曲线C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1.
依题意,直线l1的方程为y=k(x-1).
代入椭圆方程可得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
由韦达定理得:x1+x2=-
8k2
3+4k2
,x1x2=
4k2-12
3+4k2

∴弦MN的中点为P(
4k2
3+4k2
-3k
3+4k2

∴|MN|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
12(k2+1)
3+4k2

直线l2的方程为y-
-3k
3+4k2
=-
1
k
(x-
4k2
3+4k2
)

由y=0,可得x=
k2
3+4k2
,则Q(
k2
3+4k2
,0),
∴|PQ|=
3
k2(k2+1)
3+4k2

|PQ|
|MN|
=
3
k2(k2+1)
3+4k2
12(k2+1)
3+4k2
=
1
4
1-
1
k2+1

∵k2+1>1,∴0<
1
k2+1
<1
0<
1
4
1-
1
k2+1
1
4

|
PQ
|
|
MN
|
的取值范围为(0,
1
4
).
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

记平面内与两定点A1(-2,0),A2(2,0)连线的斜率之积等于常数m(其中m<0)的动点B的轨迹,加上A1,A2两点所构成的曲线为C
(I)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m的值的关系;
(Ⅱ)当m=-
3
4
时,过点F(1,0)且斜率为k(k#0)的直线l1交曲线C于M.N两点,若弦MN的中点为P,过点P作直线l2交x轴于点Q,且满足
MN
PQ
=0
.试求
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PQ
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MN
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的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年四川省成都市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

记平面内与两定点A1(-2,0),A2(2,0)连线的斜率之积等于常数m(其中m<0)的动点B的轨迹,加上A1,A2两点所构成的曲线为C
(I)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m的值的关系;
(Ⅱ)当m=时,过点F(1,0)且斜率为k(k#0)的直线l1交曲线C于M.N两点,若弦MN的中点为P,过点P作直线l2交x轴于点Q,且满足.试求的取值范围.

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