Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

（2）解：由题设a2=4b，设

则 ，令h'（x）=0，解得： ， ；

∵a＞0，∴ ，

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣		-	）
h′（x）	+		﹣		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在 ）上单调递增

①若 ，即0＜a≤2时，最大值为 ；

②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6时，最大值为

③若﹣1≥﹣ 时，即a≥6时，最大值为h（﹣ ）=1

综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ；当a∈（2，+∞）时，最大值为

【解析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．