Question

【题目】函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1 ， x2∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1， ]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1 ， x2 ， x3 ， x4∈[1，3]，有 [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：在①中，反例：f（x）= 在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1， ]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（ ）≤ ，
∴ ，
故f（x）=1，
∴对任意的x1 ， x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1 ， x2 ， x3 ， x4∈[1，3]，
有 =
≤
≤
= [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选D．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．