Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n；数列{b_n}中，b₁=1，且对任意n∈N*，bn+1-

1

2

bn=0，
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

an，n为奇数 bn，n为偶数

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T₂₀．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和为S_n，利用a_n=s_n-s_n-1，n≥2，可求得a_n，通过数列{b_n}的递推式，利用定义判断其为等比数列，然后利用等比数列的通项公式即可求出b_n．
（2）由（1）可知{c_n}的通项，然后利用分组求和求出T₂₀．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
综上，a_n=2n（n∈N^*）．
又bn+1=

1

2

bn，b1=1，
∴{b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴bn=(

1

2

)n-1(n∈N*)．
（2）由（1）知，an=

2n，n为奇数 ( 1 2 )n-1 n为偶数

，
∴T20=2+

1

2

+6+(

1

2

)3+…+38+(

1

2

)19=(2+6+…+38)+[

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)19]
=

(2+38)×10

2

+

1 2 [1-( 1 4 )10]

1- 1 4

=200+

2

3

[1-(

1

4

)10]．

点评：本题是个难题，主要考查了利用数列的递推式求数列的通项公式和数列求和的方法，注意由S_n求a_n时，a_n=s_n-s_n-1，n≥2的条件．