Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N⁺），
（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设b_n=a_n-n²+n（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在常数c，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=

1

an+n-2n-1

，T_n=c₁+c₂+…+c₃，证明

6n

(n+1)(2n+1)

＜T_n＜

5

3

（n≥2）．

Answer 1

分析：（1）由题意知a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，故

λ=-1 μ-2λ=3 -λ-μ=0

，所以存在

λ=-1 μ=1

，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列．
（2）由题意得b_n=2^n-1，要使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立，则有c=-1，所以，存在常数c=-1，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立．
（3）由题意知cn=

1

n2

，cn=

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，所Tn=c1+c2++c3＜1+

2

3

-

1

n+ 1 2

＜

5

3

(n≥2)，由此可证明

6n

(n+1)(2n+1)

＜T_n＜

5

3

（n≥2）．

解答：解：（1）设a_n+1=2a_n-n²+3n可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n+λn²+μn），
即a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
故

λ=-1 μ-2λ=3 -λ-μ=0

，得

λ=-1 μ=1

，
又a₁-1²+1≠0，所以存在

λ=-1 μ=1

，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列；
（2）由（1）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1，得a_n=2^n-1+n²-n，所以b_n=2^n-1，
要使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立，
则有

(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2 Sn-c＞0

，得c=-1，
所以，存在常数c=-1，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立；
（3）证明：因为a_n=2^n-1+n²-n，
所以cn=

1

n2

，
而cn=

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，
所以Tn=c1+c2++c3＜1+

2

3

-

1

n+ 1 2

＜

5

3

(n≥2)，
又当n=2时，T2=

5

4

＞

4

5

，符合；
当n≥3时，cn=

1

n2

＞

1

n

-

1

n+1

，
得Tn=c1+c2++c3＞1-

1

n+1

=

n

n+1

＞

n

n+1

•

6

2n+1

=

6n

(n+1)(2n+1)

；
综上，

6n

(n+1)(2n+1)

＜T_n＜

5

3

（n≥2）得证．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．