Question

（本题满分15分 ）已知椭圆经过点，一个焦点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

I）

（II）当点在直线上运动时，直线恒经过定点．

【解析】(I)由题意可知椭圆的两个焦点的坐标分别为,再根据椭圆过点，由椭圆的定义可求出，利用,求出b,焦点在y轴上，所以椭圆方程确定.

(2)分两种情况研究此问题：当点在轴上时，、分别与、重合，

若直线通过定点，则必在轴上，设，当点不在轴上时，设，、，，，然后分别表示出PA₁和PA₂的方程，分别与椭圆C方程联立求出M,N的坐标，进而得到向量的坐标，再根据,得到,因而求出m=1,从而得到定点Q（1，0）.

I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，

（II）当点在轴上时，、分别与、重合，

若直线通过定点，则必在轴上，设，………………（6分）

当点不在轴上时，设，、，，

直线方程，方程，

代入得，

解得，，

∴，              ……………（9分）

代入得

解得，，

∴，               ………………（11分）

∵，

∴，

∴，，

∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．……（15分）