Question

对于函数f（x）=ae^x-x，若存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]（m＜n），则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）∪（0，

  1

  e

  ）
• B、（-∞，0）∪（0，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  e

  ）
• D、（0，

  1

  e

  ]

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：转化ae^x≤x，为a的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到a的取值范围．

解答： 解：ae^x≤x（e是自然对数的底数），转化为a≤

x

ex

，
令y=

x

ex

，
则y′=

ex-xex

e2x

，令y′=0，可得x=1，
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．
则当x=1时函数y取得最大值

1

e

，
由于存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]，
则由右边函数y=

x

ex

的图象可得a的取值范围为（0，

1

e

）．
故选C．

点评：本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．