Question

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列,,,…,…，称之为数列{a_n}的一个子数列.设数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₃=6,取n₁=1,n₂=3.

(Ⅰ)若a₁=4，求正整数m，使，,a_m成等比数列；

(Ⅱ)若a₁=4，那么{a_n}是否存在无穷等比子数列{}?请说明理由；

(Ⅲ)若{a_n}存在等比子数列,,，求整数a₁的值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知：a_n1=a₁=4,=a₃=6,

∴36=4·a_m  ∴a_m=9,

    又在等差数列{a_n}中：a₁=4,a₃=6,∴d=1,

∴通项a_n=4+(n-1)·1=n+3,

∴a_m=m+3=9,∴m=6.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n+3,

∴=n_k+3.

    假设存在无穷等比数列{},则在{}中：=a₁=4,=a₃=6,∴公比q=，

    又是等比子数列{}中的等k项，

∴=·q^k-1=4·()^k-1,

    因此：n_k+3=4·()^k-1，即n_k=4·()^k-1-3,

    当k=4时，n_k=4·-3=-3∈N^*.

∴当a₁=4时不存在无穷等比子数列{}.

(Ⅲ)由题意知：=·

    即=a₁

∴36=a₁

    又在{a_n}中,=a₃+(n₃-3)d

=6+(n₃-3)，代入上式得

36=a₁·［6+(n₃-3)］,∴(n₃-3)=.

    若a₁=6，则{a_n}的公差d==0矛盾.

∴a₁≠6.

∴n₃-3=,∴n₃=+3,

    又n₃∈N^*，∴a₁应为12的因数且a₁≠6,

∴所求a₁的值为：1,2,3,4,12.