Question

已知：函数f(x)=ax+

b

x

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且  满足f（1）=10，f（3）=6
（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）由奇函数定义得f（-x）=-f（x），可求c值，根据f（1）=10，f（3）=6可得a，b方程组，解得a，b，从而可求f（x）；
（2）任取0＜x₁＜x₂＜3，利用作差可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性的定义得结论；

解答：解 （1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-ax-

b

x

+c=-ax-

b

x

-c，可得c=0，
又f（1）=a+b=10，f(3)=3a+

b

3

=6，
联立解得a=1，b=9，∴f(x)=x+

9

x

；
（2）由（1）知f(x)=x+

9

x

，f（x）在区间（0，3）上单调递减，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂＜3，
则f(x1)-f(x2)=x1+

9

x1

-x2-

9

x2

=(x1-x2)+

9(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)

x1x2-9

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜3，∴0＜x₁x₂＜9，即x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，3）上单调递减．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的性质判断，考查函数解析式的求解，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．