Question

已知正四面体A-BCD，它的内切球（与四个面都相切的球）半径为r，外接球（过正四面体的四个顶点的球）的半径为R，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：作出正四面体A-BCD的高DE，延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交点I就是内切球和外接球公共的球心，设正四面体棱长为1，可算出CE、GE、ED的长，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得线段成比例，从而得出EI=，DI=，由此不难得到R与r的比值．
解答：解：过点D作DE⊥平面ABC，垂足为E，则E是正三角形ABC的中心
则根据球的对称性和正四面体的性质，得外接球和内切球的球心在同一点处，设为I，则I在高线DE上
延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF，则I在CF上
I到平面ABC的距离IE等于内切球半径r，ID=IC=R是外接球半径
设正四面体棱长为1，则
正△ABC中，CG=，CE=CG═，GE=CG=，
Rt△DEG中，DG=CG=，可得DE==
∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴=，即=，可得EI=，所以ID=DE-EI=
即r=，R=，可得==3
故答案为：3
点评：本题给出正四面体的外接球与内切球，求它们的半径之比，着重考查了正四面体的性质和球的内接、外切几何体等知识，属于中档题．