Question

已知F₁、F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C的离心率为

2

2

，过左焦点F₁的直线与C相交于A、B两点，△ABF₂面积的最大值为3

2

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF₂面积取最大值，此时|AB|=

2b2

a

，AB边上的高为2c，结合椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

和a²=b²+c²，可得椭圆C的方程．

解答： 解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF₂面积取最大值，
此时|AB|=

2b2

a

，
AB边上的高为2c，
∵此时△ABF₂面积为3

2

，
故

1

2

×

2b2

a

×2c=3

2

，
又∵椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

，
又由a²=b²+c²，
解得：a²=6，b²=3，
故椭圆C的方程为：

x2

6

+

y2

3

=1．

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，由已知构造方程，求出a²=6，b²=3，是解答的关键．