Question

7．极坐标曲线C的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+7=0．设P（x，y）是曲线C上的动点，求t=（x+1）（y+1）的取值范围．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再令x=2+cosθ，y=2+sinθ，代入t=（x+1）（y+1）后整理，然后利用换元法转化为二次函数求得范围．

解答 解：由ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+7=0，得${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）+7=0$，
即x²+y²-4x-4y+7=0，化为普通方程得：（x-2）²+（y-2）²=1．
令x=2+cosθ，y=2+sinθ，
则t=（x+1）（y+1）=（cosθ+3）（sinθ+3）=sinθcosθ+3（sinθ+cosθ）+9．
再令sinθ+cosθ=m，则sinθcosθ=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，且m∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]．
∴t=$\frac{{m}^{2}-1}{2}+3m+9=\frac{{m}^{2}}{2}+3m+\frac{17}{2}$（$-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}$）．
∴当m=-$\sqrt{2}$时，t有最小值为$\frac{19}{2}-3\sqrt{2}$，当m=$\sqrt{2}$时，t有最大值为$\frac{19}{2}+3\sqrt{2}$．
∴t=（x+1）（y+1）的取值范围是[$\frac{19}{2}-3\sqrt{2}，\frac{19}{2}+3\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、圆的方程、三角函数代换、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．