Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}满足：b_n=log₃a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}{b}_{n+3}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=2S_n+1与a_n+2=2S_n+1+1作差、整理得a_n+2=3a_n+1，进而a_n=3^n-1，从而利用对数的性质可知b_n=n-1；
（2）通过（1）、裂项可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n+2=2S_n+1+1，
两式相减得：a_n+2-a_n+1=2S_n+1+1-（2S_n+1）=2a_n+1，
∴a_n+2=3a_n+1，
又∵a₂=2S₁+1=3=3a₁满足上式，
∴数列{a_n}是以1为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1，
∴b_n=log₃a_n=log₃3^n-1=n-1，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n-1；
（2）由（1）可知c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}{b}_{n+3}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．