Question

12．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B，C两点，且AB=$\frac{1}{3}$AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，己知圆E的半径为2，∠EBC=$\frac{π}{6}$．
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

Answer 1

分析 （1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则可求BC=2$\sqrt{3}$，AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，利用切割线定理即可求得AF的值．
（2）过E作EH⊥BC于H，可知△EDH与△ADF相似，由$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，可求AD=3ED．

解答 解：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2$\sqrt{3}$，
又AB=$\frac{1}{3}AC$，可知AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$．
所以根据切割线定理AF²=AB•AC=$\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$，即AF=3．（5分）
（2）过E作EH⊥BC于H，则△EDH与△ADF相似，
从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，因此AD=3ED．（10分）

点评 本题主要考查了切割线定理的应用，考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段，属于基本知识的考查．