Question

4．已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₂作直线l交双曲线C的右支于A、B两点，若△F₁AB是以∠A为直角的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 可设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设|AF₂|=m，由|AF₁|-|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
又|AF₁|=|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m+|BF₂|，
∴|BF₂|=2a，又|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a，
依题意|BF₁|=$\sqrt{2}$|AF₁|，即4a=$\sqrt{2}$（2a+m），∴m=2（$\sqrt{2}$-1）a，
在Rt△F₁AF₂中，|AF₁|²+|AF₂|²=4c²，即8a²+（2$\sqrt{2}$a-2a）²=4c²，
即c²=（5-2$\sqrt{2}$）a²，∴e=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．